Mulți studenți care studiază matematica avansată la cursuri avansate s-au întrebat probabil: unde sunt utilizate în practică ecuațiile diferențiale (DE)? De regulă, această problemă nu este discutată la prelegeri, iar profesorii procedează imediat la soluția teoriei controlului, fără să le explice elevilor utilizarea ecuațiilor diferențiale în viața reală. Vom încerca să umplem acest gol.
Începem prin definirea unei ecuații diferențiale. Deci, o ecuație diferențială este o ecuație care leagă valoarea unei funcții derivate cu funcția în sine, valorile unei variabile independente și unele numere (parametri).
Cea mai comună zonă în care se aplică ecuații diferențiale este descrierea matematică a fenomenelor naturale. De asemenea, sunt utilizate în rezolvarea problemelor în care este imposibil să se stabilească o relație directă între unele valori care descriu un proces. Astfel de sarcini apar în biologie, fizică și economie.
În biologie:
Primul model matematic substanțial care descrie comunitățile biologice a fost modelul Lotka-Volterra. Descrie o populație de două specii care interacționează. Primul dintre ei, numiți prădători, moare conform legii x '= –ax (a> 0) în absența celui de-al doilea, iar cel de-al doilea, victime, în absența prădătorilor, se înmulțește nelimitat în conformitate cu legea Malthus. Interacțiunea acestor două specii este modelată după cum urmează. Victimele dispar într-un ritm egal cu numărul întâlnirilor prădătorilor și victimelor, care în acest model se presupune a fi proporțional cu numărul ambelor populații, adică egal cu dxy (d> 0). Prin urmare, y '= by - dxy. Predatorii se reproduc într-o proporție proporțională cu numărul de prada mâncată: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistemul de ecuații
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
care descrie o astfel de populație, un prădător este o pradă și se numește Tăvile - sistemul Volterra (sau model).
În fizică:
A doua lege a lui Newton poate fi scrisă sub forma unei ecuații diferențiale
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), unde m este masa corpului, x este coordonata lui, F (x, t) este forța care acționează asupra corpului cu coordonata x în momentul t. Soluția lui este traiectoria corpului sub acțiunea forței indicate.
